Il corso di Geometria è finalizzato a fornire le nozioni fondamentalidi Algebra Lineare Geometria Analitica.

Programma

1) Spazi vettoriali sul campo del numeri reali e complessi.  Nozioni di sottospazi.  Concetto di dipendenza lineare e ge-neratore.  Teorema di esistenza di basi per spazi vettoriali finito - dimensionali.  Formula di Grassmann per sottospazi vettoriali.
2) Applicazioni lineari: definizione, proprietà elementari, esempi fondamentali.  Concetto di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari.
Matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a basi fissate nello spazio dominio e codominio.  Regola di cambiamento di base. isomorfismi e applicazioni inverse.  Concetto di rango per una applicazione lineare e matrice associata.
3) Teoria dei determinanti: tramite le formule di Laplace e proprietà basilari del determinante.  Determinante della matrice trasposta ed inversa.  Operazioni elementari di riga e / o colonna su matrici.  Teorema di Binet.  Calcolo della matrice inversa.
4) Sistemi lineari e Teoremi  di  Rouché  Capelli  (I e  II).Concetto di minore e di  caratteristica  per  una  matrice.
Interpretazione della caratteristica come il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.  Teorema dell'orlatura (senza dimostrazione).
5) Elementi di geometria analitica del piano e dello spazio: concetto di vettore libero e vettore applicato.  Rette nel piano e nello spazio.  Equazione del piano nello spazio; concetto di distanza e prodotto scalare canonico; prodotto vettore nello spazio e sue proprietà fondamentali.  Rette nello spazio e loro posizione reciproca; distanza di un punto da un piano e da una retta; distanza di due rette sghembe.
6) Endomorfismi di uno spazio vettoriale e concetto di autovalore, autovettore e autospazio.  Polinomio caratteristico e molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.  Teorema fondamentale sulla diagonalizzabilità di endomorfismi.
7) Forme bilincari su uno spazio vettoriale reale.  Matrice associata rispetto ad una base fissata e regola di cambiamento di base.  Prodotti scalari, concetto di degenerazione (nullità), prodotti scolari definiti positivi e processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmldt.  Spazio ortogonale di un sottospazio vettoriale.
8) Isometrie lineari di uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo.  Rappresentazione di tali iso-metrie tramite matrici ortogonali. il gruppo ortogonale.  Analisi dettagliata del gruppo ortogonale in 2 e 3 dimensioni.
9)  Endomorfismi autoaggiunti rispetto ad un prodotto scalare. Teorema spettrale e sue conseguenze: diagonalizzazione di matrici simmetriche tramite cambiamenti di base ortogonali e criterio di positività per prodotti scalari.
10) Coniche nel piano: forme canoniche ed alcune proprietà elementari delle coniche.  Teorema di riduzione a forma canonica per coniche e teoria degli invarianti associati alla matrice rappresentante la conica.  Centri di simmetria ed assi.
11) Quadriche nello spazio: forma canonica e teorema di riduzione.  Quadriche rigate.  Quadriche a centro e assi di simmetria.  Vertici di coni e direzioni di cilindri.
12) Forma canonica di Jordan per endomorfismi con autovalori reali.  Similitudine tra matrici.

Modalità  d'esame

L'esame consiste in due prove scritte di cui la prima verte su argomenti generali del Corso ed è mirata a selezionare l'ac-cesso alla seconda prova scritta. Un ulteriore prova orale viene eventualmente svolta in base al risultato complessivo delle due prove scritte.

Propedeuticità  consigliata

Nessuna.

F. CAPOCASA: “ Algebra e Geometria analitica ” , Esculapio Bologna 1995.
SARNESI: “  Geometria I ” , Bettati,  Boringhieri, Torino.
SILVA:  “  Algebra lineare ” , Edizione Nuova Cultura, Roma.

Gli studenti possono in ogni caso seguire un qualunque testo di Algebra Lineare e Geometria, nonche un qualunque eserciziario in commercio, purché vengono coperti tutti gli argomenti elencati nel programma di cui sopra.