Nozioni di topologia. Norme (spazi vettoriali normati), esempi. Norme equivalenti.
Prodotti scalari (spazi euclidei), esempi. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza di Minkowski. Identità del parallelogramma.
Distanze (spazi metrici). Esempi in Rn metrica d_, metrica euclidea d2, metrica d1. Esempi in C(I,R): metrica uniforme, metrica lagrangiana, metrica integrale di ordine p_1; disuguaglianza di Young; disuguaglianza di Hoelder; disuguaglianza di Minkowski di ordine p_1.
Metriche equivalenti  (R2,d_),  (R2,d1) e (R2,d2) sono spazi metrici con distanze equivalenti).
Diametro di un insieme. Insiemi limitati. Intorni sferici. Significato delle distanze equivalenti (inclusione degli intorni sferici). Punti interni, punti esterni. Insiemi aperti, chiusi. Punti isolati, punti di accumulazione, punti di frontiera.
Successioni e topologia. Successioni a valori in spazi metrici: convergenza, unicità del limite. Ogni sottosuccessione di una successione convergente è convergente. Limite per componenti di successioni in Rn.
Successioni di Cauchy. Ogni successione convergente  è di Cauchy. Spazi metrici completi. (Esempi: completezza di Rn con la metrica euclidea e di  C(I,R) con la metrica uniforme). Caratterizzazioni degli insiemi chiusi: caratterizzazione sequenziale; caratterizzazione mediante i punti di accumulazione (enunciato).
Spazi di Banach, spazi di Hilbert (Rn  è uno spazio di Hilbert). Contrazioni. Teorema delle contrazioni in spazi metrici completi (Banach-Caccioppoli). Punti fissi.
Funzioni da Rn in R. Funzioni da Rn in Rm. Introduzione.  Funzioni da Rn in R (funzioni di più variabili a valori reali (o scalari): esempi; limitatezza superiore (inferiore); estremo superiore (inferiore); massimo (minimo); punti di massimo (minimo). Esempi. Rappresentazione grafica. Insiemi di livello.  Curve di livello. Funzioni radiali. Esempi.
Funzioni da Rn in Rm (funzioni di più  variabili a valori vettoriali): esempi (curve, trasformazioni di coordinate, coordinate polari nel piano, coordiante polari (o sferiche) nello spazio, coordinate cilindriche nello spazio). Rappresentazione grafica.
Continuità  di funzioni tra spazi metrici. Funzioni continue tra spazi metrici. Continuità puntuale, continuità globale. Ogni contrazione (ogni funzione lipschitziana) è una funzione continua.
Continuità di f:X *Rm, X spazio metrico, equivale alla continuità delle componenti.
Caratterizzazione globale della continuità: la controimmagine di un aperto è un aperto  (la controimmagine di un chiuso è un chiuso). Applicazioni. Somma, prodotto, quoziente, composizione di funzioni continue. Esempi. Continuità delle funzioni lineari da Rn in Rm.
Continuità e continuità separata di funzioni di più variabili.
Limiti di funzioni tra spazi metrici.   Definizione di limite di successioni e di limite di funzioni. Funzioni da Rn in Rm e loro limiti. Limiti per componenti. Calcolo di limiti in R2 usando le coordinate polari. Esempi.
Estensione Rn *{*}. Intorni di * . Limiti infiniti per funzioni di più variabili a valori scalari o vettoriali. Unicità del limite. Caratterizzazione sequenziale dei limiti e applicazioni.
Proprietà dei limiti per funzioni da Rn in R: permanenza del segno, limitatezza locale, teorema del confronto.
Calcolo algebrico dei limiti (somma, prodotto...). Forme indeterminate. Esempi.
Continuità di funzioni da Rn in Rm.  Rette, segmenti, spezzate poligonali in Rn. Insiemi di Rn connessi per poligonali. Insiemi convessi.
Funzioni continue da un sottoinsieme A di Rn in R, con A connesso per poligonali.
Spazi metrici compatti (compatti = sequenzialmente compatti). Ogni sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico compatto è compatto. Ogni spazio metrico compatto è completo. Ogni sottoinsieme compatto di uno spazio metrico è chiuso. Ogni spazio metrico compatto è limitato. Caratterizzazione degli insiemi compatti di  Rn.
Funzioni continue da un sottoinsieme K di Rn in Rm, con K compatto. Teorema di Weierstrass per funzioni continue definite su un compatto a valori in R.
Uniforme continuità di funzioni tra spazi metrici: teorema di Heine-Cantor.
Calcolo differenziale per funzioni da Rn in R.  Introduzione alla differenziazione per funzioni di più variabili. Derivate direzionali e derivate parziali. Significato geometrico delle derivate direzionali. Esempi. Gradiente. Derivate direzionali e continuità. Derivate parziali e lipschitzianità.
Esempi.
Differenziale. Differenziabilità di f in un punto, in un aperto. Unicità del differenziale.
Differenziabilità e continuità. Differenziale e derivate direzionali. Direzioni di massima e minima crescita di una funzione differenziabile. Piano tangente ed interpretazione geometrica della differenziabilità Vettore normale al grafico di f. Differenziale di somma, prodotto, quoziente.
Teorema del valor medio per funzioni di più variabili. Se il differenziale df=0 in un insieme aperto, connesso per poligonali, allora f è costante.
Teorema del differenziale totale (cond. suff. per la differenziabilità).
Lo spazio vettoriale delle funzioni C1(A;Rn), con A sottoinsieme aperto di Rn. Derivate di ordine superiore (derivate seconde pure e miste). Teorema di Schwarz.
Lo spazio vettoriale delle funzioni Ck(A;Rn), con A sottoinsieme aperto di Rn.
Differenziale secondo e matrice hessiana. Operatori differenziali (laplaciano, divergenza, rotore). Funzioni armoniche. Esempi.
Formula di Taylor di ordine 2 con il resto di Peano.
Cenno sulle funzioni convesse (concave). Esempi. Proprietà (enunciati): continuità e derivabilità parziale sia destra che sinistra in ogni punto interno; differenziabilità nei punti interni in cui sia derivabile parzialmente rispetto ad ogni coordinata.
Cond. nec. e suff. di convessità per funzioni differenziabilità (per funzioni differenziabili 2 volte).
Funzioni omogenee. Teorema di Eulero.
Calcolo differenziale per funzioni da Rn in Rm  . Differenziabilità per funzioni di più variabili a valori vettoriali. Matrice jacobiana e determinante jacobiano. Differenziabilità e continuità. Differenziabilità e derivate direzionali. Teorema del differenziale totale e di Schwarz. Matrice jacobiana singolare. Differenziale delle funzioni composte. Esempi.
Ottimizzazione delle funzioni da Rn in R.
1) Estremi liberi. Massimi e minimi locali (relativi)  o globali, forti o deboli. Punti di sella (o di colle). Esempi. Studio del segno di una funzione.
Teorema di Weierstrass. Condizione necessaria di estremo locale interno per funzioni
differenziabili: punto critico (o stazionario).
Forme quadratiche (definite positive, negative, semi-definite positive, semi-definite negative, indefinite). Criteri per la classificazione delle forme quadratiche (enunciati):
2) caratterizzazione del segno delle forme quadratiche attraverso il segno dei determinanti delle sottomatrici principali della matrice associata;
3) caratterizzazione del segno delle forme quadratiche attraverso il segno degli autovalori della matrice associata).
Condizioni sufficienti per la ricerca di estremi locali per funzioni differenziabili 2 volte. Esempi ed applicazioni.
Condizioni sufficienti per la ricerca di estremi per funzioni convesse (concave) differenziabili 2 volte (cenno).
4) Estremi vincolati. Introduzione.
 Introduzione allo studio degli estremi vincolati di una funzione di due variabili sul bordo di un quadrato e su una circonferenza (mediante la parametrizzazione del vincolo il problema si riduce alla ricerca degli estremi di una funzione di una sola variabile). Metodo delle curve di livello.
Curve in Rn. Introduzione.  Definizioni principali: curve di Rn; parametrizzazione di una curva; sostegno di una curva; curva semplice, chiusa, piana, orientata, regolare, regolare a tratti. Esempi. Confronto tra forma parametrica, cartesiana ed implicita (vedi sotto) di una curva in R2, in R3. Esempi. Vettore tangente alla curva, equazione della retta tangente, retta normale, piano normale.
Funzioni implicite.  Esempi preliminari:introduzione al teorema delle funzioni implicite (di Dini) in 2 variabili.
Definizione di funzione definita implicitamente. Teorema di Dini in 2 variabili (condizioni suff. di esistenza e di unicità della funzione implicita; continuità; differenziabilità). Applicazioni: estremi liberi delle funzioni implicite; grafici di funzioni implicite.
Insiemi di livello. Punti regolari e singolari. Esempi.
Teorema di Dini in più di due variabili (enunciato). Esempi.
Teorema di Dini generale (funzioni definite da un sistema di equazioni) (enunciato). Esempi.
Teorema di invertibilità locale di una funzione a valori vettoriali (come applicazione del teorema di Dini generale). Esempio di non invertibilità globale.
Varietà  r-dimensionali di classe C1 (o differenziabili) in Rn. Esempi.
Studio dei punti singolari di una curva (isolati, punti doppi o nodi, punti di tipo cuspidi). Folium di Descartes.
 4) Estremi vincolati. Continuazione.
 Nozione di punto critico (o stazionario) vincolato per funzioni di 2 variabili. Caratterizzazione di un punto critico vincolato (teorema dei moltiplicatori di Lagrange). Condizione nec. per gli estremi vincolati. Funzione lagrangiana. Esempi; punti stazionari di una forma quadratica sulla superficie sferica. Il caso generale: funzioni di n variabili con m vincoli (m < n).
Curve in Rn. Continuazione. Nozione di cambio di parametrizzazione. Curve equivalenti. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva; esempio di una funzione non rettificabile. Ogni curva regolare è rettificabile e sua lunghezza. Esempi. La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione. Additività della lunghezza.
Ascissa curvilinea. Interpretazione geometrica. Integrale curvilineo rispetto all'ascissa curvilinea (o lunghezza d'arco; integrali curvilinei di prima specie). Interpretazione geometrica. Proprietà (linearità rispetto alla funzione integranda; linearità rispetto al cammino d'integrazione; indipendenza dalla parametrizzazione.
Misura e integrazione (integrale multiplo secondo Riemann).   Integrali dipendenti da un parametro:passaggio al limite sotto il segno d'integrale; derivazione sotto il segno d'integrale. Esempi.
Integrale doppio.   Per funzioni definite su un rettangolo (partizioni; somme inferiori e somme superiori). Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann (funzione di Dirichlet).
Condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità. Ogni funzione continua è integrabile.
Teorema di riduzione (di Fubini):calcolo di un integrale doppio mediante due integrazioni semplici (integrali iterati). Se f è continua vale lo scambio dell'ordine di integrazione.

Esempi.
Integrale su regioni più generali.

Misura di Peano-Jordan.   Misura di un sottoinsieme di R2 (monotonia della misura; misura dei rettangoli). Esempio di insieme non misurabile. Insiemi di misura nulla e loro caratterizzazione (enunciato). Esempi di sottoinsiemi di R2 di misura nulla. Caratterizzazione degli insiemi misurabili di R2(enunciato: misurabilit\à equivale a frontiera di misura nulla). Il grafico di una funzione integrabile ha misura nulla.
Misura (area) di un trapezoide. Regioni normali (o semplici) relativamente ad uno dei due assi. Funzioni generalmente continue. Esempi. Ogni funzione generalmente continua su un rettangolo è integrabile. Integrabilità delle funzioni continue su insiemi compatti misurabili, o insiemi misurabili qualsiasi. Formula di calcolo dell'integrale per funzioni continue su regioni normali rispetto ad uno dei due assi.
Proprietà dell'integrale doppio (linearità rispetto alla funzione integranda e additività rispetto al dominio; monotonia; teorema della media - enunciati).
Integrali dipendenti da un parametro (passaggio al limite sotto il segno d'integrale; derivazione sotto il segno d'integrale - enunciati).
Cambiamento di variabili negli integrali doppi (dimostrazione euristica - enunciato). Esempi (coordinate polari).
Integrale multiplo.  Per funzioni definite su n-intervalli. Generalizzazione dei risultati ottenuti per l'integrale doppio con particolare attenzione al teorema di riduzione (esempi per n=3: integrazione per strati; integrazione per fili) e al teorema di cambiamento di variabili (esempi per n=3: coordinate polari o sferiche; coordinate cilindriche). Volume di un solido di rotazione (teorema di Pappo-Guldino).
Cenno agli integrali multipli generalizzati (o impropri) (integrali di funzioni
illimitate e/o su domini illimitati).

Successioni di funzioni. Serie di funzioni.  Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Esempi. Convergenza uniforme implica convergenza puntuale (il viceversa in generale non è vero; teorema di Dini (enunciato).
Il limite uniforme di funzioni limitate è una funzione limitata. Il limite uniforme di funzioni continue è una funzione continua.
Criterio (di Cauchy) di convergenza puntuale; di convergenza uniforme.
Scambio di limite e integrale; scambio di limite e derivata (dim. in casi particolari). Esempi e controesempi.
Serie di funzioni.  Convergenza semplice (puntuale) e convergenza uniforme. Esempi. Somma di una serie. Criterio di convergenza uniforme di Weierstrass. Serie assolutamente convergenti e totalmente convergenti. Esempi.
Integrazione di serie. Derivazione di serie. Esempi.
Serie di potenze in R (in C).  L'insieme di convergenza è un intervallo (è un disco) nel cui interno (se non vuoto) la convergenza è assoluta. La convergenza è uniforme in ogni intervallo chiuso (disco chiuso) strettamente contenuto nell'insieme di convergenza e la somma della serie è continua all'interno dell'insieme di convergenza. Raggio di convergenza di una serie di potenze. Criterio di Cauchy-Hadamard (per la determinazione del raggio di convergenza). Criterio del rapporto (per la determinazione del raggio di convergenza). Esempi.
La somma di una serie di potenze con raggio di convergenza r>0 è una funzione regolare all'interno dell'insieme di convergenza.

Serie di Fourier.

Equazioni differenziali ordinarie.
1)Concetti e teoremi fondamentali: Definizioni e terminologia: forma generale, forma normale, ordine di un'equazione differenziale; equazioni differenziali ordinarie ed equazioni differenziali a derivate parziali.
Riduzione di equazioni differenziali di ordine n (in forma normale) a sistemi di equazioni differenziali del primo ordine (in forma normale).
Integrale generale.
Problema di Cauchy per un sistema di equazioni differenziali del primo ordine: teorema di esistenza e di unicità globale di Cauchy-Lipschitz (formulazione integrale equivalente; teorema delle contrazioni di Banach-Caccioppoli). Approssimazione di Peano-Picard.
Esempio di non-unicità per il problema di Cauchy.
Teorema di esistenza e di unicità locale di Cauchy-Lipschitz (enunciato).
Prolungamento delle soluzioni (enunciato).
2) Metodi di integrazione per alcune equazioni differenziali del primo ordine in forma normale:
a) lineari (omogenee e non; formula risolutiva: caso non omogeneo con il metodo della variazione delle costanti); b) a variabili separabili; c) omogenee; d) di Bernoulli.
3) Sistemi lineari del primo ordine: Sistemi omogenei: sistema fondamentale di soluzioni; matrice risolvente; integrale generale.
Sistemi completi: determinazione di una soluzione particolare noto un sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo (metodo della variazione delle costanti). Integrale generale (enunciati).
4) Equazioni lineari di ordine n in forma normale: Equazioni omogenee. Integrale generale. Equazioni complete: determinazione di un integrale particolare dell'equazione completa note n soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea (metodo della variazione delle costanti). Integrale generale (enunciati).
5) Equazioni lineari di ordine n a coefficienti costanti: Equazioni omogenee. Equazione caratteristica. Ricerca di integrali particolari delle equazioni complete.
6) Studio qualitativo di equazioni differenziali. Teoremi di esistenza globale, dell'asintoto, del confronto (enunciati).
Forme differenziali lineari.  Differenziale; dxi come base di L (Rn;R); forme differenziali lineari. Integrali curvilinei di forme differenziali lineari (o di seconda specie). Esempi. Integrale su una somma di curve; su curve equivalenti; su curve opposte. Forme differenziali esatte. Esempi. Una forma è esatta se e solo se gli integrali lungo due qualunque curve regolari a tratti aventi stessi punti iniziali e finali coincidono, se e solo se ha integrale nullo sulle curve (regolari a tratti) chiuse. Le forme esatte sono chiuse (cioè condizione necessaria perchè una forma sia esatta è che il campo sia irrotazionale), ma non viceversa. È vero il viceversa per forme differenziali definite su aperti stellati o semplicemente connessi.
Forme differenziali ed equazioni differenziali ordinarie. Fattore integrante.
Superfici in R3. Superfici in forma parametrica regolari (a tratti). Esempi. Confronto con le forme cartesiane ed implicite. Cambiamento regolare di parametri. Parametrizzazioni equivalenti. Piano tangente e vettore normale. Superficie orientabile.
Area di una superficie. Area di una superficie di rotazione (teorema di Pappo-Guldino). Integrali superficiali (o integrali di superficie).
Formula di Gauss-Green nel piano. Applicazioni: I) calcolo di aree mediante integrali curvilinei; II) invarianza rispetto a deformazioni della traiettoria per integrali curvilinei di campi vettoriali irrotazionali; III) significato fisico della formula: teorema di Stokes nel piano e formula della divergenza nel piano.
Teorema di Stokes e teorema della divergenza nello spazio (enunciati).

Modalità d'esame

L'esame sarà costituito da una prova scritta (suddivisa in due parti) e da una prova orale.

Propedeuticità consigliate

Sono propedeutici i corsi di Analisi matematica I e Geometria.

E. GIUSTI: Analisi Matematica II, (2a edizione, Bollati Borin ghieri, Torino, 1989).
C.D. PAGANI, S. SALSA: Analisi Matematica I e II, (Masson,  Milano, 1991).
J.P. CECCONI, G. STAMPACCHIA: Analisi Matematica II,  Volume. Funzioni di più variabili (Liguori Editore, Napoli, 1988).

Eserciziari:

E.GIUSTI: Esercizi e complementi di Analisi Matematica,  Volume Secondo (Bollati Boringhieri, Torino, 1992).
S. SALSA, A.SQUELLATI: Esercizi di Analisi Matematica II, (Parte Ia, IIa, IIIa), (Masson, Milano, 1993).
J.P. CECCONI, L. PICCININI, G. STAMPACCHIA: Esercizi e problemi di Analisi Matematica  II Volume, Funzioni di più variabili (Liguori Editore, Napoli, 1988).
E.  ACERBI, L. MODICA, S. SPAGNOLO: Problemi scelti di Analisi Matematica II,(Liguori Editore, Napoli, 1990).