Finalità

Apprendimento delle nozioni di base e capacità di utilizzo delle tecniche dell'analisi matematica per funzioni reali di una variabile reale.

Programma

Il sistema dei  numeri  reali.
Introduzione assiomatica dei numeri reali; l'assioma di completezza; estremo superiore e inferiore.
Numeri naturali e principio di induzione; proprietà di Archimede; densità dei numeri razionali.
Topologia della retta reale; aperti e chiusi; teorema di Bolzano - Weierstrass.
Numeri complessi; notazione esponenziale; radici insieme di un numero complesso.

Successioni e  serie  numeriche.
Limiti di successioni; operazioni con i limiti; limiti di suc-cessioni monotone; il numero e; funzione esponenziale e potenze ad esponente reale; massimo e minimo limite; il criterio di Cauchy; da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente.
Definizione di serie; criteri di convergenza per serie a termini positivi; convergenza assoluta; teorema di Leibnitz per serie a segni alterni.

Limiti di funzioni; funzioni continue
Generalità sul concetto di funzione; limiti di funzioni e operazioni con i limiti di funzioni; teorema di collegamento tra i limiti di funzioni ed i limiti di successioni; limiti sulle restrizioni; limite destro e limite sinistro; limite di funzioni mo-notone; funzioni continue; classificazione delle discontinuità; composizione di funzioni continue; teoremi sulle funzioni continue su un intervallo; funzione continua su un intervallo chiuso e limitato assume massimo e minimo; teorema degli zeri; continuità della funzione inversa; continuità uniforme; teorema di Heine-Cantor.

Calcolo differenziale e integrale.
Costruzione dell'integrale di Riemann; proprietà della classe delle funzioni integrabili e dell'integrale; integrabilità delle funzioni continue.
Definizione di derivata e prime proprietà; operazioni con le derivate; massimi e minimi relativi; proprietà delle funzioni derivabili su un intervallo; teorema fondamentale del calcolo integrale. Tecniche di integrazione.
La regola dell’Hopital nel calcolo di limiti per forme indeterminate; principio di sostituzione degli infinitesimi, formula di Taylor; studio del grafico di una funzione.
Funzioni convesse.
Integrali impropri e criteri di convergenza per integrali impropri.

Modalità d'esame

Verranno effettuati una prova scritta e una prova orale.

E.GIUSTI: “Analisi matematica I”, Boringhieri.

L. MODICA  A. PAEDO: “Analisi I ”,UNICOPLI (Milano).