Analisi matematica AB - (9 cfu)

Finalità

Il corso presenta, in forma abbastanza discorsiva, alcune nozioni basilari di Analisi Matematica per funzioni di una variabile reale.

Programma

Insiemi numerici.
Numeri naturali e principio di induzione; calcolo combinatorio; elementi di calcolo delle probabilità.
Numeri interi, razionali e reali; l'assioma di completezza di Dedekind; estremo superiore ed inferiore; la funzione valore assoluto; intervalli di numeri reali.
Numeri complessi; forma algebrica e trigonometrica; formula di De Moivre e radici n-esime.

Funzioni continue, limiti, successioni numeriche.
Introduzione alla continuità; definizione di funzione continua; funzioni lipschitziane; teoremi sulle funzioni continue (esistenza degli zeri, valori intermedi, Weierstrass).
Cenni di topologia; introduzione ai limiti e definizione di limite; proprietà dei limiti; limiti fondamentali.
Successioni numeriche; proprietà dei limiti e differenze con il caso delle funzioni; limiti notevoli; il numero di Nepero.
Infinitesimi e operazioni con gli infinitesimi.

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale.
Funzioni derivabili; derivata e suo significato geometrico; derivate e proprietà locali delle funzioni; teoremi di Rolle e Lagrange e conseguenze; primitive.
Forme indeterminate e sviluppi asintotici; studio qualitativo delle funzioni.

Integrali e serie.
Problema dell'area e introduzione all'integrale per funzioni continue; primitive e teoremi fondamentale e di Torricelli; metodi di integrazione; integrali generalizzati.
Introduzione alle serie numeriche; criteri di convergenza; rapporti con l'integrale.

Cenni alle equazioni differenziali.
Introduzione alle equazioni differenziali; equazioni lineari del primo ordine; equazioni a variabili separabili; equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee.

Attività d'esercitazione

Si effettuano esercitazioni a piccoli gruppi.

Modalità d'esame

Vengono svolte durante il corso due prove scritte intermedie che valgono ai fini del superamento dell’esame, che altrimenti consiste in una unica prova scritta; ciascuna prova è divisa in una parte di teoria e una di esercizi. L’esito della prova finale del precorso è considerato ai fini dell’esame finale.

Propedeuticità

Sono indispensabili conoscenze di base di insiemistica, di logica, delle funzioni, degli insiemi numerici, della trigonometria e della geometria analitica. Tutte queste nozioni sono trattate durante il precorso.

Testi consigliati

E. Acerbi - G. Buttazzo: Analisi matematica ABC vol.1, Pitagora, Bologna, 2003 è un testo sufficiente per l'esame, scorrevole e piuttosto elementare; per chi desidera una preparazione approfondita può essere consigliabile invece il testo E.Acerbi - G.Buttazzo: Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora, Bologna,1997.

Ultimo aggiornamento: 30-07-2003

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