Geometria - (9 cfu)

Finalità

Fornire allo studente gli strumenti per: a) risolvere sistemi di equazioni lineari, b) operare con le matrici, c) risolvere semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio, d) riconoscere quando una applicazione lineare e' diagonalizzabile e ricondurre una forma quadratica a forma canonica.

Programma

1. Spazi vettoriali sul campo del numeri reali e complessi: esempi di spazi e sottospazi vettoriali. Dipendenza/indipendenza lineare e generatori, basi. Somma e intersezione di spazi vettoriali. Dimensione di uno spazio vettoriale (caso finito-dimensionale), formula di Grassmann per sottospazi.
2. Applicazioni lineari: definizione, proprietà elementari, esempi fondamentali. Concetto di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a basi fissate nello spazio dominio e codominio. Regola di cambiamento di base. Isomorfismi e applicazioni inverse. Concetto di rango per una applicazione lineare e matrice associata.
3. Teoria dei determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e proprietà fondamentali del determinante. Determinante della matrice trasposta ed inversa. Operazioni elementari di riga e / o colonna su matrici. Teorema di Binet. Calcolo della matrice inversa.
4. Sistemi lineari: Teoremi di Rouché Capelli. Concetto di minore e di rango per una matrice. Interpretazione del rango come il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti. Teorema dell'orlatura.
5. Elementi di geometria analitica del piano e dello spazio: concetto di vettore libero e vettore applicato. Rette nel piano e nello spazio.
Equazione del piano nello spazio; distanza e prodotto scalare canonico; prodotto vettore nello spazio e sue proprietà fondamentali. Rette nello spazio e loro posizione reciproca; distanza di un punto da un piano e da una retta; distanza di due rette sghembe.
6. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: concetto di autovalore, autovettore e autospazio. Polinomio caratteristico e molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Teorema fondamentale sulla diagonalizzabilità di endomorfismi.
7. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmldt. Spazio ortogonale di un sottospazio vettoriale. Rappresentazione di isometrie tramite matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Analisi dettagliata del gruppo ortogonale in 2 e 3 dimensioni. Teorema spettrale e sue conseguenze: diagonalizzazione di matrici simmetriche tramite cambiamenti di base ortogonali e criterio di positività per prodotti scalari.
8. Coniche nel piano: forme canoniche ed alcune proprietà elementari delle coniche. Teorema di riduzione a forma canonica per coniche e teoria degli invarianti associati alla matrice rappresentante la conica. Centri di simmetria ed assi.
9. Quadriche nello spazio: cenni.

Attività d'esercitazione

Discussione e soluzione di esercizi su argomenti delle lezioni

Modalità d'esame

Di norma l'esame consiste di una prova scritta e orale.

Propedeuticità

precorso

Testi consigliati

F. Capocasa: " Algebra e Geometria analitica ", Esculapio
A. Nannicini: " Esercizi svolti di algebra lineare ", Pitagora (due volumi)

Testi d'approfondimento

P. de Bartolomeis: " Algebra lineare ", La nuova Italia

Ultimo aggiornamento: 30-07-2003

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