Analisi matematica AB - (9 cfu)

Finalità

L’insegnamento fornisce i concetti di base dell’Analisi Matematica, mettendo gli studenti in grado di risolvere esercizi semplici e codificati.

Programma

I Numeri reali.
Definizione assiomatica e prime proprietà di R. Le operazioni di somma e prodotto e le proprietà a di campo di R. Invertiblità in R rispetto alla somma e in R-{0} rispetto al prodotto. Relazione d'ordine in R e operazioni in R. Disequazioni. Minoranti e maggioranti. Massimo e minimo di un insieme. Estremo superiore (sup) ed estremo inferiore (inf) di un insieme: loro proprietà e caratterizzazione. Assioma di Dedekind. Completezza (esistenza di sup e inf). Il valore assoluto e sue proprietà. Prima e seconda disuguaglianza triangolare.

I Numeri Complessi
Introduzione storica: non risolubilità delle equazioni polinomiali in R e introduzione dell'unità immaginaria i. Cenni alla costruzione astratta di C a partire dal prodotto cartesiano di R per se stesso. Forma algebrica di un numero complesso e relative manipolazioni. Operazioni in C, proprietà di campo di C, invertibilità.Assenza di relazioni d'ordine compatibili in C. Enunciato del teorema fondamentale dell'Algebra. Razionalizzazione di frazioni. Coniugato di un numero complesso. Proprietà dei coniugati. Formula di invertibilità con i coniugati. Il Piano di Gauss. Forma trigonometrica di un numero complesso. Modulo e argomento di un numero complesso e loro proprietà. Disuguaglianza triangolare in C. Prodotto e potenza di numeri complessi in forma trigonometrica. Radici n-esime e teorema sulla risolubilità dell'equazione z^n=w. Equazioni di secondo grado in C. Radici dell'unità. Cenni alla rappresentazione geometrica.

Il Principio di Induzione
Teoremi e metateoremi. Il Princio di Induzione: prima e seconda forma. Esempi: somma dei primi n interi, somma delle prime n potenze intere di un numero. Fattoriali. Cenni alle tecniche di programmazione ricorsiva. Il simbolo di sommatoria e sue proprietà.

Successioni.
Definizione rigorosa di successione ed esempi vari. Ampliamento di R: l'insieme R-ampliato. Intorni in R-ampliato. Definizione di limite di una successione. Definizione “epsilon-delta” e definizione unificante usando la nozione di intorno. Successioni divergenti e velocità di crescita. Calcolo dei limiti con verifica.Teoremi di confronto, Teorema dei due Carabinieri e loro uso per il calcolo dei limiti. Somme, prodotti e quozienti in R-ampliato. Teoremi su somme, prodotti e quozienti di limiti in R-ampliatoe forme indeterminate. Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di una successione. Successioni monotone e loro proprietà. Successioni monotone e limiti: teorema fondamentale.

La Funzione Esponenziale.
Il numero e. La funzione esponenziale exp(x) e sue proprietà: monotonia, invertibilità e continuità. La funzione logaritmo (naturale) log (x) e sue proprietà. Altre funzioni esponenziali e loro proprietà . Logaritmi con basi diverse. Grafici di funzioni. Esponenziali in R-ampliato. Calcolo dei limiti di esponenziali in R-ampliato. Teoremi notevoli. Nuove forme indeterminate con gli esponenziali. Primi limiti notevoli.

Continuità.
Definizione di continuità in un punto e in un insieme. Esempi elementari: il valore assoluto, gli esponenziali e le potenze. Continuità delle funzioni somma, prodotto e quoziente. Continuità delle funzioni composte.Continuità dell'inversa. Disuguaglianze trigonometriche e continuità delle funzioni trigonometriche. Nuovilimiti notevoli (trigonometrici).

Limiti di Funzioni.
Definizione di punto di accumulazione (anche con gli intorni) di un insieme e di punto isolato. Definizione di limite di funzione in R. Definizione unificante con gli intorni. Teorema ponte. Somme prodotti e quozienti di limiti di funzioni. Forme indeterminate. Caratterizzazione della continuità con i limiti di funzione. Limiti destri e sinistri. Restrizioni. Estensione per continuità.

Funzioni Continue.
Funzioni continue su intervalli. Funzioni monotone e loro proprietà. Funzioni monotone e limiti: teorema fondamentale. Risolubilità delle equazioni trascendenti e teorema degli zeri. Cenni ai metodi numerici iterativi. Teorema dei valori intermedi e suriettività. Invertibilià di una funzione continua su un intervallo: condizioni necessarie e sufficienti. Continuit\`a dell'inversa. Massimi, minimi, estremo superiore e inferiore di una funzione. Teorema di Weirstrass.

Derivazione.
Derivabilità di una funzione. Interpretazione geometrica e significato fisico. Rette tangenti al grafico. Derivate sinistre e destre. Funzioni non derivabili. Derivabilità implica continuità. Esempio di una funzione continua ma non derivabile. Derivate delle funzioni elementari. Derivabilità e operazioni: formule della somma, del prodotto e del quoziente. La derivata come operatore lineare. Derivabilità delle funzioni composte. Enunciato del teorema sulla derivata della funzione inversa e sua interpretazione geometrica.Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi locali (relativi). Teorema di Fermat sui massimi e minimi locali. Test delle derivate seconde. Esempi e controesempi, punti di flesso. Grafici di funzioni: andamento, crescita, monotonia, estremi locali e assoluti, asintoti, punti angolosi e cuspidi. Interpretazioni fisichee cenni ai modelli di previsione economica.

Infinitesimi.
Infinitesimi, algebra degli o piccoli. Il principio di cancellazione degli infinitesimi. Il teorema di de L'Hospital,prima e seconda forma. La formula di Taylor con il resto di Peano e applicazione al calcolo dei limiti. La formula di Taylor con il resto di Lagrange e applicazione alproblema dell'approssimazione numerica. Relazioni tra le formule di Taylor e i limiti notevoli.

Integrazione
Il problema della determinazione delle primitive e integrali indefiniti. Esempio di una funzione non dotata di primitiva. Metodi di integrazione: per parti, per sostituzione e fratti semplici. Esempi. Il problema del calcolo delle aree. Introduzione storica e metodo di esaustione. Somme inferiori, superiore, plurirettangoli, integrale superiore e integrale inferiore. Definizione di integrale. Proprietà dell'integrale: linearità, maggiorazioni, formula di spezzamento e sue conseguenze. Esempio di una funzione non integrabile definita su [0,1]. Le funzioni monotone e le funzioni continue sono integrabili. Il Teoremadella media integrale. Collegamento tra integrali definiti e problema delle primitive: la Funzione Integrale. Il Teorema Fondamentale del Calcolo. Il Teorema di Torricelli e sue interpretazioni fisiche. Applicazioni.

Integrali Generalizzati.
Il problema del calcolo delle aree di insiemi del piano illimitati. Definizione di integrale generalizzato esteso su una semiretta. Definizione di integrale generalizzato di una funzione illimitata. Proprietà: somma di integrali e formula di spezzamento. Integrali indeterminati. Teorema del confronto e Teorema del confronto asintotico. Integrale generalizzato di una funzione con un numero finito di sigolarità.

Serie Numeriche.
Il problema della somma di infiniti numeri. Definizione di serie. Collegamento con gli integrali generalizzati. Teorema di Cauchy. Un esempio di serie indeterminata. Serie a termini non negativi. Criteri di convergenza: del confronto, del confronto asintotico, del rapporto (senza dim.), della radice e dell'integrale. L'esempio fondamentale della serie armonica generalizzata. Esempi.

Equazioni Differenziali Ordinarie.
Definizione e fugaci cenni al problema di Cauchy. Cenno alle applicazioni fisiche elementari e ai modelli di crescita delle popolazioni. Equazioni lineari del primo ordine e a variabili separabili: metodi di risoluzione.Equazioni differenziali del secondo ordine a coefficienti costanti. L'equazione omogenea associata e lo spazio delle sue soluzioni come nucleo di un operatore lineare. Proprietà elementari e metodi risolutivi in alcuni casi particolari e significativi.

Attività d'esercitazione

Si effettuano esercitazioni a piccoli gruppi.

Modalità d'esame

Vengono svolte durante il corso due prove scritte intermedie che valgono ai fini del superamento dell’esame, che altrimenti consiste in una unica prova scritta.

Propedeuticità

Sono indispensabili conoscenze di base di insiemistica, di logica, delle funzioni, degli insiemi numerici, della trigonometria, della geometria analitica e soprattutto delle quattro operazioni. Si consiglia la frequenza del precorso: l’esito della prova finale dello stesso è considerato ai fini dell’esame finale del corso.

Testi consigliati

E.Acerbi-G.Buttazzo: Primo esame di Analisi Matematica, Pitagora, Bologna,1997.

Ultimo aggiornamento: 24-07-2002

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